Clasificación de los continuos planos localmente conexos que inscriben rectángulos.

Resumen:

En 1911 Otto Toeplitz preguntó: ¿Toda curva de Jordan contiene a los cuatro vértices de al menos un cuadrado euclidiano?. A esta pregunta se le conoce como la pregunta del cuadrado inscrito (Square Peg Problem en inglés); hasta la fecha sigue siendo una pregunta abierta. Si la curva de Jordan cumple cierta condición extra se sabe que sí contiene a los cuatro vértices de un cuadrado; por ejemplo: si la curva es convexa, suave o lineal a trozos se conoce que inscribe cuadrados.

En 2017 Terence Tao presentó un enfoque, usando integración, para resolver el problema; logró encontrar una familia nueva de curvas de Jordan que inscriben cuadrados, sin embargo no resolvió la conjetura en su forma más general. Hay variantes y generalizaciones del problema del cuadrado inscrito. En particular si uno relaja la condición de inscribir un cuadrado por un rectángulo la conjetura se conoce cierta; es decir, Vaughan (1977) probó que toda curva de Jordan inscribe algún rectángulo. En 2020 Greene y Lobb demostraron, usando geometría simpléctica, que toda curva de Jordan SUAVE inscribe rectángulos de cualquier razón (este resultado está publicado en Annals of Mathematics 2021).

En está charla clasificaremos a los continuos planos localmente conexos que inscriben rectángulos; también daremos ejemplos de compactos no conexos que inscriben rectángulos para toda copia de ellos en el plano. Para todo esto presentaremos las herramientas topológicas necesarias. Finalmente presentaremos un conjunto de preguntas abiertas sobre las variantes y generalizaciones del problema del cuadrado inscrito.

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